Новый ящик открывается пустым. Письма у старой фирмы остаются там. Чтобы перенести, откройте старый ящик по IMAP и перетащите письма в новый. Сделать это до смены DNS — чтобы почта посередине не пропала.
После того как запись MX смотрит на новую почту, в старый ящик новое не приходит. Сначала копия, потом запись. Деловая почта на полке почты.